تُعدّ نظرية الزمر من الفروع المهمة في الرياضيات لما لها من تطبيقات متعددة في مجالات عديدة مثل نظرية الأعداد والهندسة والتشفير . في هذه الرسالة : اولا تم برهان بعض حقائق نظرية الاعداد استنادا الى مفاهيم في نظريه الزمر باستخدام استراتيجيات جديده مثل معكوس نظرية ويلسون وبعض القضايا الاخرى للتمييز بين الاعداد الاوليه .ثانيا تم عرض تطبيق عملي لهاتين النظرتين (الزمر والاعداد) في التشفير .فقد تم اقتراح تعديلان على خوارزمتي التشفير غير المتماثل المعروفتين RSA, ElGamal . سميت أنظمة التشفير المعدلة هذه باسم Power RSA(P-RSA)و Power ElGamal (P-ElGamal). هذه الانظمه استخدمت قوى الاعداد الصحيحه بدلاً من استخدام الأعداد الأولية بشكل مباشر. وايضا يتم الاحتفاظ بهذه القوى  سريه من قبل كل من المُرسل والمستقبِل. كما واستخدمت نظرية الزمر لاثبات صحة عمل هذه الانظمه التشفيريه.

تم إجراء عمليات المحاكاة لاختبار أداء الخوارزميتين المقترحتين ومقارنة كل خوارزمية مقترحة بالخوارزمية القياسية باستخدام أكواد بايثون.

تُظهر نتائج المحاكاة أن تعقيد وقت تنفيذ  التشفير باستخدام خوارزمية  P-RSA يقارب إلى حد ما وقت تنفيذ التشفير للخوارزميه RSA، بينما يكون وقت تنفيذ عملية التشفير لخوارزمية P-ElGamalأعلى منه في خوارزميتي ElGamalوP-RSA .  كذلك، تعقيد وقت تنفيذ عملية فك التشفير باستخدام خوارزمية P-RSAأعلى منه في خوارزميتي RSA وP- ElGamal، الذي بدوره أعلى من وقت  فك التشفير باستخدام ElGamalكما  ان تعقيد حجم النص  المشفر باستخدام خوارزميتي P-RSAوP-ElGamalأكبر منه في خوارزميتي RSA وElGamalعلى التوالي. علاوة على ذلك، يكون   حجم التعقيد للمفتاح الخاص والنص المشفر في P-RSAأعلى منه في الخوارزميات الأخرى المقارن به.وهذا يوضح ان دمج نظرية الزمر مع نظرية الأعداد لا يُعزز الفهم النظري فحسب، بل يُقدم أيضًا فوائد عملية في التشفير الحديث. تُبرهن التحسينات المقترحة على قدرة الهياكل الرياضية على مواجهة تحديات الأمن الواقعية.

امتياز